6.2. Mengen#

Die Menge ist eines der fundamentalsten mathematischen Objekte. Eine Menge repräsentiert eine Ansammlung von verschiedenen Objekten / Elementen. Sie kann unendlich oder endlich viele Elemente enthalten.

Menge

Eine Menge \(M\) ist eine (ungeordnete) Ansammlung von Elementen.

Wir schreiben \(e \in M\) um auszudrücken, dass das Element \(e\) in der Menge \(M\) enthalten ist.

6.2.1. Mengenkonstruktion#

Es gibt verschiedene Schreibweisen um eine Menge zu definieren. Zum Beispiel, können wir die Elemente der Menge einfach auflisten

\[M = \{3, 1.2, 5, 6\}\]

oder ihre Elemente als Bedingung definieren

\[M = \{x : x \text{ ist eine Primzahl}\}.\]

Selbst wenn wir keine Ahnung haben, wie wir Primzahlen berechnen können, können wir die Menge aller Primzahlen einfach hinschreiben. Für immer wiederkehrende Mengen haben sich Mathematiker*innen auf ganz bestimmte Symbole geeignet.

6.2.2. Zahlenmengen#

Besonders wichtig sind dabei die Zahlenmengen:

  • Natürlichen Zahlen: \(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots \}\)

  • Natürlichen Zahl inklusive der Null: \(\mathbb{N}_0 = \{0, 1, 2, 3, \ldots \} = \mathbb{N} \cup \{0\}\)

  • Ganzen Zahlen: \(\mathbb{Z} = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots \}\)

  • Rationalen Zahlen: \(\mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} : a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{N} \right\}\)

  • Reelle Zahlen: \(\mathbb{R} = \{ \ldots, -e, 1.5, \sqrt{2}, \pi, \ldots \}\)

  • Binäre Zahlen: \(\mathbb{B} = \{0,1\}\)

Enthält eine Menge \(B\) alle Elemente einer Menge \(A\) so drücken wir diesen Sachverhalt mit

\[A \subseteq B\]

aus. Gilt zudem \(b \in B\) und zugleich \(b \notin A\), d.h., es gibt ein Element \(b\) in \(B\) welches nicht in \(A\) enthalten ist, so drücken wir dies mit

\[A \subset B\]

aus. Für die Zahlenmengen gilt:

\[\mathbb{N} \subset \mathbb{N}_0 \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}.\]

6.2.3. Mächtigkeit#

Mächtigkeit endlicher Mengen

Die Mächtigkeit oder auch Kardinalität \(|M|\) einer Menge \(M\) mit endlich vielen Objekten ist gleich der Anzahl ihrer Elemente.

Die leere Menge notieren wir mit \(\emptyset = \{\}\). Sie enthält keine Elemente.

Mächtigkeit unendlicher Mengen

Für einen sauberen Mächtigkeitsbegriff von Mengen mit unendlich vielen Elementen benötigen wir Mittel, welche wir hier nicht besprechen. Es sei jedoch erwähnt, dass \(|\mathbb{N}| = |\mathbb{Z}| = |\mathbb{Q}|\) gilt. Diese Mengen enthalten abzählbar viele Elemente, wohingegen \(\mathbb{R}\) überabzählbar viele Elemente enthält weshalb \(|\mathbb{R}| > |\mathbb{N}|\) gilt.

6.2.4. Programmierung#

Alle gängigen Programmiersprachen bieten Datenstrukturen an, welche endliche Mengen repräsentieren. Welche Möglichkeiten die Python Mengen set bieten, erfahren Sie in Abschnitt Mengen - set.