6.5. Funktionen#

Eine Funktion ist eine Relation für die bestimmte Bedingungen zutreffen müssen.

Funktion

Eine Funktion \(f : A \rightarrow B\) ist eine Relation (Beziehung) zwischen zwei Mengen \(A\), \(B\) die jedem Element aus \(A\) genau ein Element aus \(B\) zuordnet. \(A\) bezeichnen wir als die Definitionsmenge und \(B\) als die Zielmenge von \(f\).

Um durch die Notation anzudeuten, dass es sich bei der Relation um eine Funktionen handelt, schreibt man anstatt \(f \subseteq A \times B\) auch

\[f : A \rightarrow B.\]

Und aufgrund der eindeutigen Zuordnung schreiben wir für Funktion \(f\) anstatt \((x,y) \in f\) gewöhnlich

\[f(x) = y.\]

Dies Schreibweise ist eindeutig, da falls \((x,y_1) \in f\) und \((x,y_2) \in f\) gilt, unweigerlich \(y_1 = y_2\) folgt.

6.5.1. Begrifflichkeiten#

Anstatt Definitionsmenge sagen wir auch Definitionsbereich, Urbildmenge oder kurz Urbild. Die Zielmenge wird auch als Wertemenge oder Wertebereich bezeichnet. Diejenigen Elemente von \(B\), die tatsächlich auch in einem Paar in \(f\) auftauchen, d.h. alle Elemente der Menge

\[\{y : f(x) = y, x \in A \}\]

heißen Funktionswerte, Bildelemente kurz Bilder.

6.5.2. Beispiele#

Beispiele für Funktionen mit reellem Definitions- und Wertebereich die Ihnen bekannt vorkommen sollten:

\[f: A \rightarrow B \text{ mit } A, B \subseteq \mathbb{R}\]

  • Gerade: \(f(x) = 2x - 7\)

  • Quadratische Funktion: \(f(x) = -6x^2 + 3x + 4\)

  • Polynom: \(f(x) = 8x^5 + x^4 - 3x^3 + 2\)

  • Rationale Funktion: \(f(x) = \frac{2x^3 - 2x}{5x - 10}\)

  • Sinus-Funktion: \(f(x) = 2\sin(-2x) + 5\)

  • Exponentialfunktion: \(f(x) = 5^{x-2}-4\)

  • Natürliche Exponentialfunktion: \(f(x) = e^x\)

  • Logarithmusfunktion: \(f(x) = 3 \log_2(2x-4) + 3\)

Weitere etwas ungewöhnlichere Beispiele sind:

  • Leere Funktion: \(f : \emptyset \rightarrow \emptyset\), \(f = \emptyset\)

  • Diskrete Funktion \(f : \{1,2,3\} \rightarrow \{1,2,3\}\), \(f = \{(1,2), (2, 1), (3, 2)\}\)

  • Dirichlet Funktion \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), \(f(x) = \begin{cases}1, & \text{ falls } x \in \mathbb{Q} \\ 0, & \text{ sonst.}\end{cases}\)

6.5.3. Programmierung#

Alle gängigen Programmiersprachen realisieren mathematische Funktionen durch Funktionen bzw. Methoden. Allerdings sei gesagt, dass nicht jede programmierte Funktion auch eine mathematische Funktion ist.

Welche Möglichkeiten Ihnen Python bietet, erfahren Sie im Abschnitt Funktionen.